素数分布の研究
私の父が、自分のサイトで「素数分布の研究」を公開しました。「半年かけて完成させた独自の試みなのに、誰も見に来てくれない」とぼやいています。そこで、依頼を受けて、これを紹介することにしました。興味のある方は読んでください。なお、この研究に対する質問などは、ここに書いてくれれば、本人が答えてくれます。
1. 解説
素数分布とは自然数Ｎの中に素数がいくらあるかを表したもので、一般にπ（Ｎ）という関数で示されます。これは下の図の通り、階段状のグラフとなり、従来、それを正確に求めるのは極めて難度が高いとされてきましたが、この研究では、それをコンピュータを使わずに、エクセル表で計算できるようにしています。また近似式では、素数定理がありますが、この研究は、簡易補正式で精度を上げることを試みています。また素数間の差が２である双子素数についても、その分布の近似式やπ（Ｎ）との関係についても調べています。
2. 目次 （改訂版）
Ⅰ. 素数と分布
Ⅱ. 研究コーナ
関連トピックとして、フォーラムから“永井建哉氏の「素数分布の研究」における Qn/Nの極限値 Rn について”を転載します。
永井建哉氏の「素数分布の研究」における Qn/Nの極限値 Rn について
投稿者：Tani Akinari．投稿日時：2014年2月04日(火) 12:49.
７ Ｑｎ/Ｎの極限値
において、
Qn/Nの極限値 Rn を求める方法として、
漸化式 Rn=(1/pn)*(1-Σ[u=1～n-1]Ru) …… (11)
が挙げてありますが、さらに簡便な方法でRnを求めることが可能です。
以下では、k番目の素数 pk を p(k) というふうに記すことにします。
Rnは漸化式を用いることなく、次のような形で表すことができます。
Rn=(1/p(n))*(1-1/p(1))*(1-1/p(2))*…*(1-1/p(n-1))．
例えば、
R4=(1/7)*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)=4/105，
R5=(1/11)*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)=8/385，
R6=(1/13)*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)=16/1001．
また、漸化式 R(n)=R(n-1)*(p(n-1)-1)/(p(n)) (n＞1) が成り立ちます。
以下は、Rn=(1/p(n))*(1-1/p(1))*(1-1/p(2))*…*(1-1/p(n-1)) が成り立つことの証明です。
(証明)
S={p(1)，p(2)，…，p(n)} とします。
N 以下の正整数であって、なおかつ、S のどの要素でも割り切れないようなものの個数を A[n](N) とします。
A[n](N)は包除原理を使って次のように求めることができます。
A[n](N)
=N-[N/p(1)]-[N/p(2)]- … -[N/p(n)]
+[N/(p(1)*p(2))]-[N/(p(1)*p(3))]+ … +[N/(p(n-1)*p(n))]
-[N/(p(1)*p(2)*p(3)]-[N/(p(1)*p(2)*p(4)]- … -[N/(p(n-2)*p(n-1)*p(n))]
…
…
+((-1)^n)*[N/(p(1)*p(2)*…*p(n)]．
ここで、A[n](N)/N の極限 lim[N→∞](A[n](N)/N) を考えます。
lim[N→∞](A[n](N)/N)
=1-1/p(1)-1/p(2)- … -1/p(n)
+1/(p(1)*p(2))-1/(p(1)*p(3))+ … +1/(p(n-1)*p(n))
-1/(p(1)*p(2)*p(3)-1/(p(1)*p(2)*p(4)- … -1/(p(n-2)*p(n-1)*p(n))
…
…
+((-1)^n)*1/(p(1)*p(2)*…*p(n)
=(1-1/p(1))*(1-1/p(2))*…*(1-1/p(n))．
N 以下の正整数であって、なおかつ、S のいずれかの要素で割り切れるようなものの個数は、
N-A[n](N)に等しく、これはまた、Q1(N)+Q2(N)+…+Qn(N)に等しいです。
つまり、
Q1(N)+Q2(N)+…+Qn(N)=N-A[n](N) です。
したがって、
Qn(N)=(N-A[n](N))-(N-A[n-1](N))=A[n-1](N)-A[n](N)．
Qn(N)/N の極限 lim[N→∞](Qn(N)/N)は、
lim[N→∞](Qn(N)/N)
=lim[N→∞](A[n-1](N)/N)-lim[N→∞](A[n](N)/N)
=(1-1/p(1))*(1-1/p(2))*…*(1-1/p(n-1)) – (1-1/p(1))*(1-1/p(2))*…*(1-1/p(n))
=(1/p(n))*(1-1/p(1))*(1-1/p(2))*…*(1-1/p(n-1))． (証明終)
Re: 永井建哉氏の「素数分布の研究」における Qn/Nの極限値 Rn について
投稿者：永井建哉．投稿日時：2014年2月05日(水) 00:31.
貴重なご意見ありがとうございます。
提示いただいたRnの式はおっしゃるように、漸化式でなく、直接算出できる簡便な式で私の（11）式より優れていると思います。
またもう一つ提示していただいた漸化式R(n)=R(n-1)*(p(n-1)-1)/(p(n))は私の（11）式からも導きだされることが確認できました（証明略）