カオスと決定論
カオスは日本語の混沌に相当する。しかし、カオスはたんなる無秩序ではない。カオスとは何か。非線形で非決定論的であるにもかかわらず、なぜカオスは不可知論を帰結しないのかを考えよう。

1. なぜ自然科学は決定論的であったのか
ある晩のこと、一人の酔っぱらいが電灯の下で何かを探していた。
通行人:何か探しているのですか?
酔っぱらい:財布を落としたので探しているのだよ。
通行人:電灯の下で落としたのですか?
酔っぱらい:いや、そういうわけではないのだが、電灯の下は明るくて探しやすいから、電灯の下で探しているのだよ。
近代の自然科学は、この酔っぱらいと同じようなことをやってきた。しばしば自然科学は人文科学や社会科学よりも厳密だと言われるが、自然科学は厳密な数学的分析ができる分野でしか研究をしてこなかったというのが実態である。しかし近年のカオスの科学は、そうした視野の狭さを超えて、理系と文系の壁を崩しつつある。
2. カオスは非線形である
まずカオスとは何かから説明しよう。カオス(混沌)という言葉は、日常的には、たんに無秩序を意味する言葉として使われるが、複雑性の科学では、確定的な非線形の規則にしたがって、予測不可能な不規則な振る舞いをするシステムのことを表す専門用語として使われる。複雑系とカオスを同一視する研究者もいる。

非線形とは、1次関数のような線形ではない関数のことを言う。例えば、
f(x)=4x(1-x) (ただし、0≦x≦1)
というロジスティック方程式は、2次関数であり、放物線を描くので、非線形である。このロジスティック方程式は、限られたある領域に分布する生物のある世代の個体密度x(満員は1、絶滅は0)が、次の世代にはどうなるかを表した写像である。4xは、平均4の子供を産むということであり、(1-x)が掛けられているのは、個体密度が高くなると、資源の不足や争いの増加などで増殖が妨げられるということを表している。この単純な写像を何世代にもわたって適用すると次のような結果が得られる。
世代 | 個体密度 1 | 個体密度 2 |
---|---|---|
0 | 0.40000 | 0.40001 |
1 | 0.96000 | 0.96001 |
2 | 0.15360 | 0.15357 |
3 | 0.52003 | 0.51995 |
4 | 0.99840 | 0.99841 |
5 | 0.00641 | 0.00636 |
6 | 0.02547 | 0.02526 |
7 | 0.09928 | 0.09850 |
8 | 0.35768 | 0.35518 |
9 | 0.91898 | 0.91610 |
10 | 0.29782 | 0.30743 |
11 | 0.83650 | 0.85167 |
12 | 0.54707 | 0.50531 |
13 | 0.99114 | 0.99989 |
14 | 0.03514 | 0.00045 |
15 | 0.13561 | 0.00180 |
これを見てわかるように、個体密度は一定の値に収斂することもなければ、周期性を見せることもない。この世代数を無限に大きくしていくと、スーパーコンピュータですら個体密度を予測することができなくなる。このように、単純な確定的規則に従いながら、無秩序で予測不可能な振る舞いを見せるシステムがカオスと呼ばれるのである。
3. カオスは非決定論的である
カオスのもう一つの特徴は、初期値敏感性である。個体密度1と個体密度2では、初期値が0.00001しか違わない。通常この程度の誤差は有効数字外として無視されるのであるが、15世代目を見てみると、まったく違う結果が帰結していることに気が付く。こうした初期値敏感性はバタフライ効果とも呼ばれている。蝶々が羽をパタパタしたことで、そうでなければ、発生しなかったであろう台風が発生するというわけである。これはやや誇張されすぎだが、気象現象は典型的なカオスで、天気予報官が、明日の天気を高い確率で予測できるのに対して、10日以上先の天気となるとまったく予測できないのは、バタフライ効果のおかげである。
このバタフライ効果は、近代的な決定論を突き崩すことになる。ガリレオやニュートンを嚆矢とする近代自然科学のパラダイムは機械論的決定論であった。19世紀のフランスの数学者ラプラスは、自然界はすべてニュートン力学的運動をする粒子から構成され、厳密な因果法則によって縛られていて、現在の初期条件と束縛条件をすべて認識する悪魔的能力があれば、未来の任意の時点におけるすべての粒子の状態を予測できると考えた。人間が未来を正確に予測できないのは、そうしたラプラスの悪魔ほどの認識能力がないからで、自分は自由に行為しているという人間の幻想とは裏腹に、すべてはあらかじめ決定されているのだというわけである。ニュートン力学は、現在でも限定的な妥当性が認められているが、ニュートン力学を不当に拡張するとこうしたラプラスの悪魔を生むことになる。
機械論的決定論は、人文科学や社会科学にも大きな影響を与えた。観念論的哲学者は、自然の必然性から自由意志を守ろうとあらゆる抵抗を示した。社会科学者は、自分たちが蓋然性に基づく議論しかできないことに劣等感を抱き、歴史の必然的「法則」を見つけようとやっきになっていた。近代ブルジョア科学のイデオロギー性を批判していたマルクスも、決定論的パラダイムからは抜け出せなかったのである。
機械論的決定論は、20世紀になって徐々に崩れていく。量子力学における不確定性原理は、ミクロのレベルでの決定論を否定し、複雑性の科学におけるバタフライ効果は、マクロのレベルでの決定論までを否定した。
量子力学のコペンハーゲン解釈によれば、ミクロなシステムは本来存在が不確定な波動で、波動が収縮して確定的になるのは、認識という主観の干渉のおかげである。だから、対象は確定的で、人間の認識能力が不十分であるから不確定に見えるだけだという決定論者の議論は成り立たなくなる。
量子力学が登場しても、マルクス主義者は、ミクロなレベルでの偶然性は、マクロなレベルでの必然性へと止揚されると主張した。ちょうど、高速道路を走る自動車には、車線を変更したり、スピードを調整したりする自由があるが、最終的に到着する地点はあらかじめ決定されているように、歴史においても、途中で多少の紆余曲折があるにしても、最終的に人類社会が向かっていく方向が共産主義革命によるプロレタリア独裁であることは必然であるというわけだ。
しかしもしミクロのレベルでの不確定性が、バタフライ効果により、マクロのレベルでの不確定性へと拡大されるとするならば、こうした議論も成り立たなくなる。決定論的パラダイムは、共産主義の崩壊と時を同じくして瓦解し、代わって登場したのが、不確定性に満ちたグローバルな市場経済であり、複雑系の科学である。
4. カオスは不可知論を帰結しない
カオスが、決定論的な規則にしたがっているにもかかわらず、予測不可能な不規則な振る舞いをするということは、逆にいえば、予測不可能な無秩序と思われる現象も確定的な規則に還元できる場合もあるということである。複雑系の研究者の中には、そうした試みは古い還元主義の残滓だとして、複雑性を複雑なまま捉えようとする人たちもいるが、それでは、それこそ太古から存在する神秘的な不可知論と変わらないことになる。カオスの斬新さは、自然法則は確定的で未来は予測可能とする決定論とも、自然法則は不確定で未来は予測不可能とする不可知論とも違って、自然法則は確定的だが未来は予測不可能とする新しい立場を打ち出したところにある。
「自然法則は確定的だが未来は予測不可能」というテーゼが理解できないという人のために、メタファーを使ってカオスの本質を説明したい。スポーツの試合では、あらかじめ選手が従うルールが確定的に決まっているが、選手の振る舞いはカオス的に不規則であり、試合の勝ち負けをあらかじめ予測することは困難である。もしあらかじめ勝ち負けがわかっていたら、誰も試合など観戦しないであろう。はじめから勝敗がわかっていると思われる試合でも、最初のちょっとしたミスが、番狂わせによってとんでもないハプニングを次々と生み出し、負けるはずのないチームが負けるというバタフライ効果もしばしば見られる。試合が人々を魅了するのは、それがカオス的な複雑系であるからである。
ディスカッション
コメント一覧
線形(リニア)非線形(ノンリニア)はグラフの形状のような幼稚な話ではなく、ベクトルやテンソルが重ね合わせ可能かどうかという議論だったと思いますよ。大昔に大学で習った記憶ではそうです。カオスの文脈ではAという行為とBという行為を行ったときA+Bという結果になるのが線形で、そうならないのが非線形という話じゃないのでしょうか?
日本語では「線形関数」と「1次関数」は言葉としては別ですが、英語にすると、どちらも”linear function”です。つまり線形関数とは1次関数に他ならないということです。ご指摘の f(a+b)=f(a)+f(b) という関係は、1次関数では当てはまりますが、それ以外の関数、例えば、2次関数では、成り立ちません。直線か否かは、直観的な問題だから、概念的には、こういう定義をしなければいけないのでしょうが、1次関数はグラフが直線だから線形という説明の方がわかりやすくて良いと思います。
いつも大変お世話になっております。
常日頃Webの更新大変ご苦労されていると思います。
カオス理論を文系の立場から言わせていただきますと、自転公転をしている地球で静止物理学の範囲で移動物理学を解明しようとするからカオスが生まれると思っています。気象に致しましても、重力、地磁気など位置エネルギー他、熱エネルギ、運動エネルギーなどを考慮すればどの方向に気象が動いていくのか解明できると思っています。たまたま今日は雨が降っているのですが、それは気象庁の予測に反してアメリカの戦闘機30台が訓練飛行をしたから雨が降ったかもしれないのです。全ては時間が未来に向けて考慮されていないために多くの科学者は移動物理学をカオスに責任転嫁していると思っています。物理現象は磁気フィールドの中で行われるのであって影でこそこそやっていないと思っています。
突然のコメントで大変失礼を致しました。
通りすがりで、読ませていただき、勉強させていただきましたついででコメントしてみます。つっこみいただき、不勉強さを確認させていただければと思います。
JI 様
>A+Bという結果になるのが線形で、そうならないのが非線形という話じゃないのでしょうか?
永井俊哉様 のコメントの言い換えですが、A+B(「重ね合わせの理」でしたっけ)が成り立つ場合には、その系は、必ず、直線のグラフで表される写像に置き換えられると聞いたことがあります。なので、線形=グラフが直線 (の写像に置き換えられる) というのはあっているのではないでしょうか?
>NET検察 様
>・・・・・などを考慮すればどの・・・・・
という、文に対して横から意見ですが、カオス理論のそもそもの衝撃は、きわめて決定論的な、「すべてが明白に考慮された、非常に単純なモデルというか決定論的数式レベル のモデル や 実験装置」であっても、解くことができない系があるということだと思います。(解けない=実際におっかけないかぎり任意時点の姿を確定させられない)それでいながら、ランダム過程でなくある種の秩序や法則を内在していると。
おしゃるような、観測精度向上による予測精度向上は常にありますが、それと別に本質的に、気象は最初にローレンツが数値モデルで実証したようなカオス系ですので、神の視点でもラプラスの悪魔の視点でも、完全に予測することができない対象になると思います。
・・・あってますかね、この理解。
カオス理論のご説明については、「カオスということ自体を何ら知らない方に対しても(その方に文章読解力さえあれば)非常に理解し易いご説明をなさっていらっしゃる」と感じました。
また、仰るように「気象は最初にローレンツが数値モデルで実証したようなカオス系である」ということもその通りであると思いました。
さて、「カオス」がこうで、「カオス理論」がこうで、それは所謂「複雑系」に属する以外にない対象様相で、従来における「決定論」さえも為すすべ無き次元にその存在を存在足らしめる代物であるということそのものはさておき、私が個人的に興味を持ちますことは、『バタフライ効果における「とあるバタフライ」-それが-「効果に及ぶバタフライであることの未然的見極め」は可能か?』という点であります。
カオスの初期値鋭敏性とは、特定の特殊な初期値でないと異なった結果が出ないということではなくて、どの初期値でも異なった結果が現われるということです。例えば、バスケットボールの真上にピンポン玉を置く場合、ちょっとした位置のずれから、転がり落ちる経路が全く異なったものになりますね。そういう例で考えてみてください。
私の書き方が良くなかったようで、伝わりにくかったことにはお詫び申し上げます。
先に記させていただきましたところの『バタフライ効果における「とあるバタフライ」-それが-「効果に及ぶバタフライであることの未然的見極め」は可能か?』という問いの中にある「効果に及ぶバタフライであることの」という部分につきましては、ご返信くださった内容の言葉にもある【ちょっとした位置のずれ】←の【「ちょっとした」という部分に対する疑問】でありましたので、
つまりが、【バタフライ効果における「とあるバタフライの羽微動」-それが-「効果に及ぶバタフライ羽微動であることの未然的見極め」は可能か?】という問いであったわけです。
ですのでこの問いは、【「バスケットボールの真上にピンポン玉を置く場合、ちょっとした位置のずれから、転がり落ちる経路が全く異なったものになる」現象における「経路別・ピンポン玉を置く位置加減」-その-「未然的見極め」は可能か?】ということにも対応する問いであるとも思います。
同じ場所に置けば、同じ経路を辿るはずなのですが、問題は、私たちがピンポン玉を同じ位置に置いたつもりでも、私たちには認知できない「ちょっとした位置のずれ」があるということです。
>同じ場所に置けば、同じ経路を辿るはずなのですが、問題は、私たちがピンポン玉を同じ位置に置いたつもりでも、私たちには認知できない「ちょっとした位置のずれ」があるということです。
はい。
その「ちょっとした位置のずれ(=ピンポン玉を置く位置のずれ)」があるがゆえに、いくら同じ場所に置いたつもりでも「ピンポン玉は置く都度に別の経路へ転がりゆく」ということは私にもわかります。
そして、その「ちょっとした位置のずれ自体」が私たちには認知できないというのも「現時点では当然ながら」わかります。
しかし、【認知できない】←ということに話が終わってしまったら、こちらのサイト【4. カオスは不可知論を帰結しない】にもありますところの【カオスが、決定論的な規則にしたがっているにもかかわらず、予測不可能な不規則な振る舞いをするということは、逆にいえば、予測不可能な無秩序と思われる現象も確定的な規則に還元できる場合もあるということである。】←とのコトガラそのものが、永井俊哉氏ご自身により「本末転倒になってしまう」のではないでしょうか。
ルールが確定的でも、そのルールに従った振る舞いは不確定であるということです。つまり、ピンポン球に働く重力、抗力、摩擦力などの力は、確定的な物理の法則に従うけれども、初期値が正確に把握できないから、落下経路を確定的に予測できないということです。